La matemática pre
griega. Egipto y Mesopotamia.
Se
refiere a la matemática escrita en griego 600 años ac-450dc.En la mente y en la
acción del hombre prehistórico no están ausentes los números más simples, las
formas más elementales y la ordenación más visible de las cosas. Esta notación
numérica de las “cuentas del templo" pone de relieve ciertas conexiones
entre la escritura y los sistemas de numeración que pueden dar pábulo a la
tentadora hipótesis de admitir que los sistemas escritos de numeración fueron
anteriores a la escritura misma. Estos disponen de palabras especiales para
designar los números y fracciones sencillas, así como disponen de gestos y
signos convencionales para indicar números o unidades. Aquí se han facilitado los cálculos mediante el uso de objetos materiales.
Los Babilonios
(Mesopotamia).
Hasta
el primer tercio de este siglo, los conocimientos que se poseían acerca de la
matemática de los pueblos que habitaron la Mesopotamia: sumerios, acadios,
babilonios, asirios... eran escasos y no revelaban mayor contenido científico.
Ofrecían los sistemas de numeración utilizados en los textos cuneiformes. En
efecto, hacia el año 3.000 a. C. los sumerios introdujeron un sistema de
numeración posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexagesimal
que aún utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y angulares. En ese
sistema las cifras de 1 a 59 se escribían de acuerdo con un arcaico sistema
decimal aditivo, sobre la base de dos signos cuneiformes: uno vertical para la
unidad y otro horizontal para el 10. Pero a partir de 60 y para las fracciones
el sistema se toma posicional, las potencias sucesivas de 50, en orden
creciente o decreciente, se representan por la unidad, y cada conjunto numérico
hasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior. Desde comienzos de
este siglo (1906) se había revelado el carácter posicional del sistema sumerio
al descifrarse textos cuneiformes con tablas de multiplicación, de recíprocos,
de cuadrados,... y algunos cálculos; pero fue recientemente con la labor de
desciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) y Thureau Dangin (1938)
que esta matemática sexagesimal muestra su verdadera faz.
Los textos últimamente descifrados pertenecen
al período babilónico (II milenio a. C.) aunque registran conocimientos de los
sumerios del milenio anterior; la índole.
Desde
el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los
textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales
y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y
de sus consecuencias numéricas.
En los problemas de primer grado con una sola
incógnita las tablas de multiplicación o de recíprocos ofrecen de inmediato la
solución; en los sistemas lineales, en cambio, a veces con varias incógnitas,
ya entra en juego la habilidad algebraica del calculista.
Tal
habilidad se pone de relieve más claramente en los problemas, a veces agrupados
en colecciones, que exigen la resolución de ecuaciones cuadráticas o reducibles
a cuadráticas; resolución que el calculista babilónico lleva a cabo utilizando
la actual resolvente a veces mediante el recurso de reducir el problema a la
determinación de dos números de los cuales se conoce el producto y la suma (o
la diferencia).
Otros
problemas: se refieren a aplicaciones geométricas que revelan el conocimiento
de la proporcionalidad entre los lados de triángulos semejantes, de las áreas
de triángulos y trapecios así como de volúmenes de prismas y cilindros; en
cambio, para la longitud de la circunferencia y el área del círculo se adoptan
los valores poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tres
diámetros (valores que se conservan en la Biblia) y para el círculo el triple
del cuadrado del radio. Pero, sin duda, el conocimiento geométrico más
interesante que revelan las tablillas es del llamado “teorema de Pitágoras” y
en especial, como consecuencia, la ley de formación de los
tripletes-pitagóricos, es decir, de las ternas de números enteros, que, a par
de representar medidas de los lados de triángulos rectángulos, expresan la
posibilidad aritmética de descomponer un numero cuadrado en suma de dos
cuadrados.
El conocimiento del "teorema de
Pitágoras”, no podrá lograrse sin el teorema (4).
Egipto.
Comparada
con el contenido de las tablillas de los babilonios, la matemática de los
egipcios resulta de un nivel muy inferior. Las causas reside en el sistema de
numeración adoptado por los egipcios: aditivo decimal compuesto de ocho signos
jeroglíficos para indicar la unidad y las primeras siete potencias de 10 y que
en el contexto numérico se escribían de derecha a izquierda según las potencias
decrecientes. Con ese sistema, el escriba o calculador egipcio realizaba
operaciones aritméticas elementales, con números enteros o fraccionarios,
utilizando una técnica operatoria. El conocimiento de los métodos de cálculo de
los egipcios y de su aplicación en distintos problemas proviene de algunos
papiros. Aunque el papiro declare que contiene “las reglas para lograr un
conocimiento de todo lo oscuro y de todos los misterios que residen en las
cosas...” es en realidad un manual de aritmética, probablemente destinado a la
formación de los escribas oficiales que tenían a su cargo el conocimiento y la
práctica de los cálculos que exigía la típica organización económica de la
sociedad egipcia. El interés mayor reside en su característico uso y manejo de
las fracciones. Si se exceptúa 2/3 (y ocasionalmente 3/4), fracción para la cual
existía un signo especial y de la cual, por lo demás, conocían la
descomposición en 1/2+1/6 , el calculista egipcio utiliza exclusivamente
fracciones unitarias. Y por tanto, todo
cociente o parte de un cociente menor que la unidad debía expresarse como suma
de fracciones unitarias, problema indeterminado desde el punto de vista
teórico, tratando de dar, y a veces en forma ingeniosa, la descomposición más
simple. El conocimiento aritmético de los egipcios no se limita a las
operaciones elementales con enteros y fracciones: en los papiros matemáticos
aparecen progresiones aritméticas y geométricas y hasta algún ejemplo de raíz
cuadrada. En cuanto a las aplicaciones se trata en general de problemas de
repartición proporcional o de medidas de capacidad, de superficie o de volumen,
así como cuestiones de distinta índole que conducen a problemas de primer grado
con una o más incógnitas. Los conocimientos geométricos de los egipcios son más
bien extensos: disponen de reglas exactas para el área de triángulos,
rectángulos y trapecios, así como para el volumen de prismas y pirámides.
